１．７ 時空間
それでは、前節の思考実験を時空図を使って整理してみましょう。
下の図7-1は、移動系側に立って観た、実験装置の世界線です。世界線とは時間軸と、空間軸で表された座標の中に、物理的対象物(事象）がどの時刻に何処にいるのかをプロットしたものです。
この座標で表わせられる『空間』（数学では座標が定義されば空間となる）を相対性理論では『時空』と呼びます。
図７−１
移動系Ｓ’の時間軸はｔ’として、５秒単位に目盛を振りました。また空間軸ｘ’は５Ｃ単位の刻みです。大文字の”Ｃ”は１秒に進む光の距離３０万Ｋｍの省略表記です。
実験装置は移動系S'上で静止しているため、A点、B点それ真上に伸びた世界線となります。
時刻０の瞬間に発せられた光のパルス（オンであれオフであれ）が１０Ｃ（３００万Ｋｍ）離れたA,B両端に、１０秒後に到達している様子が分かります。
また、時空点（事象）を『Ａ１０’』の様にダッシュを付して書きこんであります。これはＳ系での時刻と異なりＳ’における時刻を使っていることを示します。
今度は我々が観測していた側である静止系Ｓに立って、この実験装置を観てみましょう。
図７−２
図７−２の様に、実験装置は左から右移動して行きます。移動速度が速ければ速いほど世界線は寝てきます。
Ｂ０，Ａ０はＳ系での時刻ｔ=０の時空点です。これは丁度時刻０で実験装置の中央部が重なった瞬間のＡさんＢさんを表しています。
注目すべきは、静止系から見たＡ地点とＢ地点の、移動系における時刻が異なっていました。実際に同時に覗き込むと、移動系の時計の針がちゃんと異なっています。前節の思考実験を思い出してください。
光のオフがＢさんに届いた時点で時刻は１０秒を指していました。これは図７−３のB10'に対応します。
図７−３
そして前端にいて、まだ光のオフがとどいていない上、時刻も１０秒に満たない状態のAさんは、Ai'に対応します。貴方はこの時、レーザー光線を遮ってボタンを押すことを拒否しました。
それでは、移動系での同時刻はいったい何処になるのでしょうか？ 丁度、光のオフが前端Ａに到着した瞬間がそうした。図ではＡ10'に相当します。
尚、この同一時刻線のｘ軸に対する傾きは、ｔ軸に対する同一地点線と同じ角度になります。
図７−４で大雑把に証明しましょう。
図７−４
原点Oを挟んで等距離の任意の平行線に対して、原点を通る全ての直線は、マル印の様に等距離になります。よって、光の軌跡４５度線O，Pを挟むα１，α２の角度は等しくなります。
これらの事をたよりに、静止系Ｓの座標上に移動系の移動系Ｓ'の座標を書きこんでみましょう。
図７−５
同一地点を繋げたもの（Ai'-A10'とかB10'-Bj')が時間軸です。S'の時間軸は斜めに傾いています。
同様に、B10'-A10'の様に移動系S'での同一時刻を繋げたものが空間軸です。これも斜めに傾いています。
さらに移動系内での同時刻（ｔ’で１０秒ごと）の実験装置の位置を重ねてみたのが図７−６です。
図７−６
さあ、これでＳ系から見た、Ｓ’系の時空地図が出来あがりました。どの点を指定しても、即座にＳ’系での時刻と位置が求められます。しかしこれではまだ、指定の点がＳ座標上の何処に対応するかが分かりません。
何故なら肝心のＳ系の時間軸ｔ、空間軸xに目盛を振っていないからです。それではS系の座標軸に目盛を振って完成させましょう。
まず、時間軸の対応関係を調べてみましょう。『第３節 時間の遅れ』の説明で式３−１により、S系に対してS'系は時間が
に遅れているということが分かっています。
図７−７
図７−７を例に取て説明しましょう。 原点Oで時刻[０秒]の移動系の時計がP点に移動したとする。この場合、Pにおける移動系の時計の時刻[？]は、静止系の時計の時刻に対して
の少ない時刻を指している事になる。Ｖ＝０．５cの場合、
[？] の値は約８．７秒
となる。
ところでS系では時間軸１０秒上にP点があります。またS'系ではP点は８．７秒でした。これはP点のS’系時間軸t’上の目盛と考えてよいはずです。
これらの関係を整理したものが図７−８です。それぞれ１０秒の目盛の位置関係に注目してください。
図７−８
関係1
静止系での時刻、１０秒にP１にて移動系の時刻を確認したら8.7秒を指していた。
関係２
移動系の時刻が10秒を指した地点はP2であり、静止系での時刻は１１．５秒であった。
次にグラフ上での長さを確認しましょう。今までのグラフの座標軸では［1秒：30万Km］を［1：１］で表してきました。仮に1秒及び30万Kmを１ｃｍでグラフに表て見ましょう。図７−９の様になります。
図７−９
1秒時点でのｔ軸、ｔ’軸で作る逆三角形に注目すると高さ１［ｃｍ］、横幅方向にはｖ/ｃ［ｃｍ］です。当然、斜辺の長さは図中に示す通り
となります。７‐８図に７‐９図よって得られた関係を重ね合わせると図７−１０の関係が得られます。
図７−１０
グラフ上のｔ’軸一目盛（１０秒）の長さは10・
［cm］となります。つまり、ｔ’軸の一目盛はｔ軸の一目盛の倍の長さで割り振ることになります。また逆の言い方をすると、t軸の一目盛はｔ’軸の
倍の長さになると言えます。以上の分析により時間軸の目盛の長さ関係が明らかになりました。続いて空間軸ｘ、ｘ’について分析してみましょう。
ここまで来ると後は簡単です。 移動系内においても、当然１０秒後に１０Ｃ（３百万Ｋ）ｍ離れた地点に到達していなければなりません。
そもそも、空間軸は時間軸と同じ角度で閉じていました。
図７−１１
結局、図７−１１の通り４５度の光の軌跡を挟んで、時間軸と対称的な目盛とならざるを得ません。
以上で、静止系Ｓから見た、移動系Ｓ’系の時空地図が完成です。移動系は静止系上、斜交座標として表されることが理解できました。
驚くことに、空間軸方向でも座標が間延びしてしまいました。 この間延びしたS'系の座標を使って距離を測ると、長さが変わって見えることになりそうです。
図７−１2
そうです、これがいわゆるローレンツ収縮という現象です。 詳しくはDr.メイに実験してもらいましょう。
| ファーッアーッ、うん。 よく寝た。 あれ、そういえば何か実験の途中だったような気がするな。 えーと、そうそう。 時間の遅れを確認していたら、理論的には長さも縮んでしまいそうだったんだ。 それを実験で確かめてくれとか、言ってたような・・・。 しかし、動いている物の長さを測るのは大変なんだよな。 何か簡単に確認できる良い方法はないものだろうか・・・あっつ！！！！。 こら！ 蟻ども。 何をしている。 私が寝ていると思って、 それは私の大切なビスケットだ。 やめろ！ 動くな！ それ以上近づくでない！  やめる気が無いようだな。 よーし、それならそれで、こっちにも考えが有るぞ。 これだ！  この粘土で動けなくしてやる！ えい！ どうだ。 参ったか！よし！ やった。 これでしばらく動けないだろう。 『可哀想じゃないかですって？ 大丈夫。 気を失ってるだけです。 そのうち動き始めます。 今度は、これに懲りて逃げ帰るでしょう。 私の大事なビスケットも、これで一安心です。 お！ 粘土の裏にさっきの蟻どもの跡が付いてる。 結構強く叩いたのか、くっきりと窪みがついてしまった様だ。 まてよ、ひょっとしてこれは使えるかもしれないぞ。 こうやって定規を当てて、蟻の隊列の長さが測れる。 これは、あの時の蟻どもを叩いた瞬間の長さに等しいはずだ。 いくらちょこまかと動き回っていても、 粘土を押し付けられた瞬間の、まさに、動かしようのない長さが、刻み込まれていると言って良いだろう。  うむ、我ながら良い実験方法が浮かんだぞ。 この方法を使えば、S’系の移動する物体の長さを、実に簡単に測る事ができる。 実験装置としては、とにかく大きな粘土を用意するだけでよい。 そして、たくさんの皆さんに実験に参加していただき、せいのっ！と皆で同時に、粘土を移動物体に押し付ければよいだけだ。 もちろん押し付けは瞬間的でなければならない。 大丈夫。 今まで実験に参加されていた皆さんなら、十分上手にこなせます。 それでは早速、実験の準備に取り掛かろう。 まずはS'系に約２００万ｋｍの長さの宇宙船を用意しよう。 ２００万ｋｍの長さだという事をはっきりさせるために、宇宙船に２００万ｋｍの定規を貼り付けておこう。 定規の目盛りは凹凸を付けておく。 粘土を押し付けた瞬間、さっきの蟻どもと同じように、凸凹の目盛りを写し取れるようにするためだ。 さらに、時間との関係を調べられるように、時計を宇宙船の側面に貼り付けておく。 もちろん文字盤のガラスは取り外しておく。 やはり粘土を押し付けた瞬間、それぞれの場所での時刻を粘土に刻み付けるためだ。 よし、準備完了。 この『粘土押し付け転写測定法』により、S’系の宇宙船の長さも時刻も、測定した瞬間、粘土に固定化され、まさに動かしがたい証拠が刻み込まれることになる。  宇宙船の速度は前回の時間の遅れの実験と同様、約０．８７ｃとする。 これにより、 ガンマ係数：γ=1/√（１−v２/ｃ２）=2 となり、 S'系である宇宙船での時間の進み具合いは、丁度半部となる。 それではいよいよ実験を開始しよう。 静止系にて、原点Oを宇宙船の最後尾が通りかかった瞬間に、全員で粘土を押し付けよう。 前もって、全員の時刻を、その時間に合わせておこう。 もちろん押し付ける相手は移動する宇宙船です。 先ほどの蟻ではありません。 素早く押し付け終えてください。 準光速ですので非常に危険です。 くれぐれも十分注意願います。 いいですか、さあ、来ましたよ。 ３、２、１、それ！  はい！ もういいですよ。 皆さん、お怪我はありませんでしたね？ やれやれ。 さあ、実験結果はどうなったかな。 おお、うまく写し取れているようだ。 宇宙船も時計や定規も、くっきりと跡を残している。 さてこちら側、つまりS系の青い定規を当て比べてみよう。 うーむ。 やはり縮んでいる。 粘土の２００ｋｍ定規は１００ｋｍの長さしかない。 時間の遅れと同様１/2だ。 S'系は長さも１/γに縮んでいる様だ。 ところで、時間の方はどうなっているかな？ あれ、ちょっとずつ時間がずれている。 ちょと見にくいが、ロケットの後ろ端しのが０ｓに対して次が-１．４ｓで、その次は-２．９ｓかな。 次は-４．３ｓ、一番頭のやつは-５．８ｓといったところか。 それもそうだ。 確かに前の実験で時間の遅れを確かめていた時、移動系の時間はその場所場所で時間が異なっていた。 しかし、こうやって粘土に型取りしてみると壮観だ。 ロケットのような硬い物が、時間がずれたまま、同時に存在する事が不思議に思えてくる。 時空図を使って整理しておこう。 まず、粘土を押し付けた所は原点の付近だ。 ロケットの進行方向の右方向に、長さ１００K以の粘土を用意して型をとった。 時刻はロケットの後ろ端しが、原点にてお互い０ｓになるように実験を準備した。  ロケット前端の時計-５．８Sに対応するS系での時空間座標は-300万ｋｍ、-１１．５５ｓの点だ。 １１．５５ｓ後に原点に到着する。 赤い点線で示す通り、この軌跡はS’系の時間軸t’と同じだ。 それではロケットの他の部分はどこに在るのかな。 もちろんS'系で-５．８ｓ時点のロケットの他の部分の事だ。 当然S'系で同時刻線上のことだからだから、ｘ’座標平行な線上となるな。 図に書き込むと、  こうなる。 うーむ。 やはり時間がそろっている方が気持ちがいいな。 よし。 これを粘土に写し取る方法を考えてみよう。 ０．８７ｃの速度だから、一番後ろの時計、これを5番の時計と呼ぼう、これが-5．8秒を指しているのは、こちらのS系時間では2倍の−11．55秒。 距離は−３００万ｋｍの地点となる。  次に２５万ｋｍずつ前方の時計を4番、3番、2番として、最前方の時計を1番時計とすると、それぞれ図のように {−８．６５秒：−200万ｋｍ｝、 {-５．７７秒：−１００万ｋｍ｝、 {−２．８９秒：０ｋｍ｝、 {０秒：＋１00万ｋｍ｝ の時空点となる。 そうすると、粘土を−300万ｋｍから＋100万ｋｍの位置に置いておき、−11．55秒から100万ｋｍ毎に−８．６６秒、−５．７７秒と、ロケットの移動に合わせて、粘土を押し付けなければならないと言う事だ。 んーん。 飛んでくるロケットの時間を揃えたいがためだけに、わざわざ場所毎に時間をずらして押し付けるんだって！？ 何のためにこんな、ばからし実験をやらなけらばならないのだ？ えーと、『時間が揃ったロケットの粘土型を取りたいからじゃなかったのか』って？ そうだ！そうだった。 やめた、やめた。ばかばかしい。 結局、以下の通り、同時に型を取る。 このことがS系での現実だ。  それがS系で意味をなす長さの定義ということになる。 同様に、S’系の時間が、ずれたまま型に取られていても、現実にS'系での時刻だったとして受け入れるしかない。  |