１．９　力学と質量

なになに、力学を調べてみろだと！　まったく人使い・・じゃなくて犬使いの荒いやつらだ。 　ニュートン力学は覚えているかな？　忘れてるといけないので、おさらいをしておこう。 　　α=F/m　 　　　　　　質量：ｍに力：Fを加えるとαだけ加速する。 　　ｖ=α・ｔ　 　　　　　　加速度：αでｔ時間加速すると速度はｖとなる。　 　ン・・・、ちょっと表現は教科書と違うかもしれないが、まあいいだろう。とりあえず実験を進める上では、これぐらいで十分だ。 　手始めに質量ｍ、これを準備しよう。　これは、重量級の時計。鉄球に時計が埋め込まれており、丁度１Kg・・・だったと思うが？・・・　そうそう、丁度料理用の秤があったからこれでで確認してみよう。 　　　　　　　　　　　　　　 　あれ！ぜんぜん針が動かない。　 おお、そうかそうか、ついうっかりしていた！　ここは宇宙空間の実験室だった。　重力が無いから計れるわけがない。 　しょうがない。　早速だが、先ほどの力学を使って、こいつの質量を確認しよう。 　アイデアとしては、この『重り時計』を押してみて、動きにくさから質量を計ろう。　重ければ重いほど、動きにくくなるはずだ。　押す力の加減は、この料理秤をそのまま使えばいい。 では、ちょいと計算してみよう。 質量：ｍに力：Fを加えるとαだけ加速する。 　 　 　　　　　　　α=F/m 　 逆に、Fの力で押してαの加速があったら、質量はｍである。 ｖ=α・ｔ　よりさらに移動距離：ｙは 　　　　　　　　　　ｙ＝∫αｔ　ｄｔ＝αｔ２/２ となる。 逆に、移動距離から加速度を求めるには 　　　　　　　　　　α＝２ｙ/ｔ２　・・・　式８-２　　　 これを式８−１に代入すると 　　　　　　　　　　ｍ＝Fｔ２/2ｙ 　ところで、Fのコントロールだが、重り時計に押し付けた時の目盛りを１ｋｇにすると、そのときの力：Fは 　　　　　　　　　　 F=ｍｇ＝１[ｋｇ]×９．８[ｍ/秒２] となるように作られている。　ｇの９．８[ｍ/秒２]はもちろん地球の重力加速度だ。 　絶えず１ｋｇになるように押し付けいていると、移動距離：ｙから質量：ｍが式8-3により逆算できることが分かる。 　　　　　　　　　　　ｍ＝9.8ｔ２/2ｙ[ｋｇ]　・・・　式８-3 　よし、実験開始だ。　実験は貴方にお願いしよう。 　まず、秤をねかして手に持って。　つぎにこの『重り時計』に横から押し付けてどんどん加速する。　絶えず目盛りが１ｋｇになるよう上手く力を加減すること。　準備はよろしいですか？ さあ、スタート。 　　　　　・・・よしよし・・・。　うまいうまい！ 　いやー、　貴方、上手ですな。　何度やっても４．９ｍの移動距離になる。　やはり、この重り時計は重さ１ｋｇの方でした。 　そうすると、こちらにもう一個有る、この『重り時計』は、２ｋｇの重い方のやつだな。　よし、ついでに確かめよう。 　同じ様に１ｋｇで押すと、こちらの２ｋｇ重り時計は重い分、移動距離は半分の２．５ｍにしかならないはずだ。　こちらは私が押そう。　じゃあ１，２，３で同時にスタートしよう。 　　　　　１，２，３、それ！ 　　　　　・・・そうそう・・・。　そのちょうし。 　よし。　何度やっても、私の方は２．５ｍだ。　いやー、結構疲れますな！　もう十分。　納得、納得。　こちらは２ｋｇのほうだ。　これで終わりにしよう。 　よし、次の実験開始だ。　と云うより、訓練開始ですかな。 　今度の実験は、ちょっと難しい。　動いている重り秤を、脇から１ｋｇの力でチョんと押してみる実験だ。　先ほどの止まっている実験の場合と比べて、動いている分、タイミングよく押さないと空振りしてしまう。　動体視力と運動神経が良くなければ失敗してしまう。 　まず、１ｋｇのほうからだ。 　　　　さあ、スタート 　　　　・・・。　それ、今だ！ 　上手、上手。　後は、何度か繰り返して慣れてください。 　そろそろ十分上達したようですな。押す瞬間、目盛りが１ｋｇになるように、上手く力を加減できるようになった。　押された重り時計は軌道がずれて、毎回２ｃｍほど上に跳んでいる。 　この重り時計は横方向速度：Vx=１０ｍ/秒で飛んで来る。　秤の幅は１０ｃｍあるから、接触している時間は0.01秒。　この0.01秒の間に、秤により１ｋｇの強さで、上方向に加速されたことになる。　その結果、 　　　　上方向速度：Vy＝α・ｔ＝9.8×0.01≒１０[ｃｍ/秒] 押されてから、高さを測定する所までの距離は２ｍだから、0.2秒間移動する。　よって、跳ね上がる高さは 　　　　　　　１０[ｃｍ/秒]×0.2[秒]＝２[ｃｍ] ということになる。 　　　　　 　続いて２ｋｇの方だ。　やはり、押す瞬間は１ｋｇの力で押すこと。　準備はよろしいですか？　さあ、どうぞ！ 　２ｋｇの方は１ｋｇの力で押しても、倍重たいだけあって、跳ね上がる距離は丁度半分の、１ｃｍでしかないですな。　よしよし、ちゃんと理論と一致する。　ニュートン力学は素晴らしいものだ。 　　　　　 　ところで、もう十分上達したと思うが、いかがかな？　この思考実験室の中では時計の精度などが完璧な理想状態となるばかりか、実験操作も数回の練習で超人的な神業？が使えるようになる。　要はイメージが描けるかだけの問題である。　それでは、いよいよ本番の実験に挑戦しよう。 　さあ、ここまで前置きが長いと、うすうす感づいているかもしれないが、何と、今度の実験は、光速に近い速度で飛んでくる『重り時計』を、この秤で跳ね上げて見ようという実験だ。 先ほどの秒速１０ｍとは比べ物にならない速度だが、根本的には何も変わっていない。　ちょっと危険・・・いや、かなり危険が伴うが、十分注意を払いさえすれば、大丈夫だろう！？ 　速度は0.87ｃ、約26万ｋｍ/秒とする。　ほとんど光速といっていいだろう。　秤を押しつけて加速できる時間は 　　　　　　　１０[ｃｍ]/26万ｋ[ｍ/秒]＝3.8×１０-１０[秒] これは、0.38ナノ秒という、正に、一瞬の時間でしかない。 首尾良く秤を押しつけられれば、この間に１ｋｇの『重り時計』は 　　　　9.8[ｍ/秒２］×3.8×１０-１０[秒]＝3.7×１０-９[ｍ/秒] の上方向の速度を得ることになる。 　大丈夫。　貴方は十分な訓練を積んだ。　自信を持って実験に臨んでいただいて結構だ。 　　　　　 　高さを計測する地点は、重り時計が丁度１０００秒間走った、2.6億ｋｍ先としよう。　そうすると跳ね上がる高さは 　　　　3.7×１０-９[ｍ/秒]×１０００[秒]＝3.7×１０-6[ｍ] つまり、3.7μｍとなるはずだ。　この計算はニュートン力学に基づくものであり、貴方とともに、先ほどまでの実験で、さんざんその正当性を確認してきたはずだ。 　くれぐれも、飛んでくる『重り時計』に気をつけること。　光速に近い速度だから非常に危険だ。　 　いいですか？　それでは実験開始！ 　さあ、来ました！　それ！ 　おお！　さすが、上手い！　 接触する瞬間を捕らえて、正確に１ｋｇの力で押し上げられている。　天才的だ！ 　よし、早速、高さを測ってみよう。　３．７μｍのはずだ。　・・・あれ、何度やっても予想の半分ほどの１．９μｍ程だ、おかしいですな。　ひょっとして２ｋｇの方かな？　いやいや、２ｋｇの方は金色をしていた。　この黒っぽいのは確かに１ｋｇの方だ。 どうした事だ！　いったい何が起きているのだ？

よし、私はこの0.87ｃの速度で移動する『重り時計』の系に移って、接触する瞬間の様子を、詳細に観察しよう。　貴方はこちらの静止系で引き続き実験を続けていただこう。 　私の方、つまり移動系である重り時計の系では、貴方のいる実験室の静止系が逆に右から左に通り過ぎて行く。 今丁度、右から来た秤の端が接触した瞬間だ。　貴方は今回も上手く押しつけ始めた。　力も１ｋｇだ。　 　　　　　 　よしよし、順調に加速され始めた。　上に徐々に動き始めたぞ。　 　丁度予定の０．３８ｎ秒の半分まで来た。　このまま一気に加速だ。・・・おっと、押すのを止めないで。　実験を続けて！・・・あれ、もう秤の右端にまで来てしまったようだ。　これでは、これ以上加速できない。 　　　　　 　だがまてよ、なんだか速度は結構出てるな。ちゃんと測定ポイントに到達するまで待ってみよう。　 　ありゃ、５００秒で測定点に到達してしまったぞ、なんで１０００秒じゃないのだ。　『半分の時間の加速』と『半分の時間で測定ポイントに到着』だって？ 　それに『測定ポイントまでの距離も半分だ！？』・・・、だから『半分の高さ』で文句ないだろうだって！！ 　うーむ。ちょっと混乱してきた。実験はひとまず止めにして、今起きたことを時空図を使って整理してみよう。 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　図９-１ 　まずは、貴方のいる静止系で時空図を使って考えてみよう。 図９−１は静止している『重り時計』を０．３８ｎ秒加速した場合(青）と、私がいた移動系の『重り時計』を加速した場合（緑）の比較である。 移動系にいて最初に私が驚いたのは、加速し終わるまでの時間が０．１９ｎ秒しかなかった事だ。しかしそれはこの図の通り、ローレンツ変換で確認した時間の遅れによるものである。 静止系の０．３８ｎ秒は移動系では0.19秒でしかなく納得できるものである。 　次に、『半分の時間で測定ポイントに到着』、『測定ポイントまでの距離も半分』・・・の事を考えよう。これはもちろん私のいた移動系での出来事である。 そもそも移動系で貴方の静止系を眺めていたが、当然私の目には移動していたのは貴方の方であった。貴方の方で計った26万ｋｍの測定ポイントは私の方から見たら縮んでしまって、半分の距離の１３万ｋｍでしかなかった。 これも単純にローレンツ変換で確認した移動方向への収縮（ローレンツ収縮）である。だから半分の距離を半分の時間で到着して何の不思議もない。これに対しても文句は無い。 『半分の高さ』に関しても、半分の時間で半分の高さまで移動したと考えれば、納得する。これは静止系から秤を押し付けて加速したら、移動系で測ってはじめて期待する速度になるということだ。 　この三つまではローレンツ変換での予測通りだったと言う事で納得できるのだが『半分の時間の加速』だけは変だ。 何故かって、そちらの静止系（こちらから見たら貴方の方が移動系なんだが）での秤は『１Kｇの表示』をしながら何と２Kg！の力で押していることになる。まるで秤のバネが２倍硬くなったようなもんだ。 　おおっ！まてよ。バネのように金属が硬くなるのなら、ガラス玉も硬くなってダイヤモンドになるかもしれないぞ！そうすれば私は大金持ち！そうだ、こんな事やってる場合じゃない。早く実験して確かめよう。特許でもとろうかな・・・・。 　・・・おっほん。今日の実験はこれで終わりとする。　さようならー。

よーし、それでは。１０秒間、１ｋｗの電熱器をつけた場合を考えてみよう。　この場合、電気エネルギーは全て熱エネルギーに換わるものとして考える。　容器の中にこの電熱器が置かれていた場合は、全ての熱エネルギー輻射熱として放出され、容器に吸収され、容器全体を暖めることとする。 　　　 　この事は静止系でも、移動系でも変わらないはずだな。　静止系での容器を暖めるのに供給された熱量は１0ｋｗｓに相当する。　移動系において同様の実験を行っても、当然同じ結果となる。 　ところで、移動系でこの実験を行っているところを、静止系より観察してみるとどうなるかな？ 　　 　静止系時間で１0秒間観察していても、移動系では5秒しか経っていない。　その間、移動系の容器が吸収した熱量は５ｋｗｓに相当だ。　実際に容器の温度計も5秒間暖めただけの温度にしかなっていない。　ふむ、こんな現象はもう慣れっこだ。　特に驚くに値しない。 　さて、これからが注目すべき実験だ。静止系の容器の中を、移動系の電熱器が暖める場合のことを考えて見よう。　 　細長い容器の中を、電熱器が光速に近い速度で飛びながら、容器を暖めるという実験だ。　形状が異なっても容器の容積は今までの実験で使用した容器と同じで熱容量も合わせてある。　また、熱は瞬時に容器内に行き渡る。 　　　 　はたして、容器の温度は５秒（５ｋｗｓ）に相当するか、それとも１０秒分（１０ｋｗｓ）か？　直感で言って５秒の方だな。　この考察は、慣性系間のエネルギー交換則を見つけることになる。　よしよし。 　もし５秒（５ｋｗｓ）以外、例えば１０秒間に相当するエネルギー（１０ｋｗｓ）を静止系が受け取ったとするぞ。　静止系ではそのエネルギーを利用して発電し、静止系で利用することが原理的に可能になるな。　受け取った１０ｋｗｓの熱量は、１ｋｗの電熱器を１０秒間動作させることが出来ることになる。 　 　もしこんな事が起きるのなら、この後、先程とは逆に静止系の電熱器で移動系の容器を暖めて、熱エネルギーを移動系に「お返し」出来る。　結果として移動系は移動系時間５秒の熱放射で、静止系時間１０秒間分の熱エネルギーを静止系より逆輸入出来るわけだ。 　少々ややっこしくなるが、さらに静止系１０秒間分のエネルギーは、移動系にとっては２０秒間分ということになる。　相対性原理により移動系も静止系も同格の慣性系であるから、このエネルギー交換則はどちら向きにも適用される訳だ。 　結果としてだ、『移動系は５秒の熱エネルギー投資で、２０秒間分のエネルギーが回収』ができることになる。　正に永久機関！？　こんなうまい話はそうそう有るわけは無い。　 　結局、５秒相当（５ｋｗｓ）以外、多くても少なくてもエネルギーの保存則を破ってしまうことは容易に理解できる。 　よしよし。エネルギーの交換則が見つかった。供給側の系固有の時間で測った仕事量（熱量）が交換されるエネルギーになるわけだ。　輻射熱による慣性系間のエネルギーの交換例である。　輻射熱は電磁波、つまり光の一種だが、この交換則は力学的エネルギーでも同様に適用されなけらばならない。　次は力学で考えてみよう。 　力学的にエネルギーを移動系から静止系に移す方法を考える。　先ほどの実験と同様、光速に近い速度で移動している電気モーターで静止系の質点を押してみるというのが単刀直入な方法だ。 　移動系で測った１０秒分のエネルギー１０ｋｗｓを、電熱器の代りに電気モーターに投入する。　その結果、移動系のモータより静止系の質点が加速させられる。　 　　　　　　　　　　　　　ちょっと復習・・・。 　１[ｗｓ]（＝１[Ｊ]）のエネルギーは１[Ｎ]の力で質点を１[ｍ]移動させることができる仕事量である。　また約0.24[カロリー]に相当し１[cc]の水を０．２４[度]上昇させることができる熱量でもある。 　１[Ｎ]は１[ｋｇ]の質点を１[ｍ／ｓ２]加速させることができる力。 　それでは実験を行おう。　移動系の電気モーターで１０ｋｗｓのエネルギーを使い静止系側2ｋｇの質点を押してみよう。　この１０ｋｗｓは質点の運動エネルギーに変換されることから、 　　　　ｍｖ２/２＝１０[ｋｗｓ] 　　　　ｖ＝√（１０,０００×２／２）＝１００[ｍ/ｓ] まあ、ざっとこんなところで、実験値とも一致するわけだ。 　おお！　そうだったのか！　押す側の系から見たら、この1００ｍ/ｓの速度は半分の５０ｍ/ｓにしか見えない。　つまり質量ｍが2倍に増加したように見える。 　 　時空図を使って整理してみよう。静止系と移動系の時間軸関係は以下の通り。　移動系の時間は半分しか進まない。 　　　　　　　 　さらに、この図に以下の図の様にY軸を追加し斜め上から鳥瞰してみよう。　 赤いマルが電熱器を表わす。電熱器は移動系の時間軸に沿って移動する。　温められる側の容器はY軸の高さを持たせ、Ｘ軸側に細長いピンクの四角で表わした。 もちろん容器であるから、Z軸の厚みも必要だが表現出来ないから省略した。　これは静止系の時間軸に沿って固定されている。 　　　　　　　 　この図より理解できることはエネルギーの交換は供給側の時間で行われる。　１ｋｗの電熱器を１０秒間つけると１０ｋｗｓのエネルギーが輻射熱の形で放出される。　受給側は放出完了するまで、20秒間じっくりと待たなければならない。　静止系時間１０秒で受け取った熱エネルギーは５ｋｗｓでしかない。 　電動モーターで質点を押す場合はどうだろうか？　モーターでアクチュエイターを作る。　先端に、Ｘ軸方向に細長い押し付け板を取り付け、高速で移動する質点を押して加速する。　押し付け板も含め可動部の質量は無視できるほどの軽量。　力は瞬時に端から端に伝わる理想的な実験装置だ。 　　　 　アクチュエイターの押し付け板の右端が質点に触れた瞬間が0秒だ。移動系で１０秒後に１０ｋｗｓの電力を消費して電気エネルギーは質点の運動エネルギーに変換される。　 しかし熱エネルギー交換実験とは時間関係が異なる。　移動系１０秒時に押し付け板左端で動力が切れ、加速が止まる。　これは静止系の質点位置での時間にして５秒後でしかない。　移動系での10秒時の同時刻（緑の点線）を左に辿ってみて下さい。 つまり、１０ｋｗｓのエネルギー受け取り完了までの時間は、静止系で５秒という事になる。 　おお！　そうか。　秤で重り時計を押した実験での疑問が解けた。　今回の実験と同じだ。　半分の時間で加速されていたのだ。　つまり加速度が２倍、　よって押す力は２倍となる。 　これらを整理すると 　　　　　　　　　�@運動する物体の質量は増加する 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　�A運動する物体から受ける力は増加する 　　　　　　　　　　 　　　　　　 が実験より、導き出されたことになる。