| アインシュタイン・テンソル よし、手始めにコンピュータ実験での手順を、もう一度数式を使って整理してみよう。 ビアンキ恒等式  ↓縮約  ↓縮約  という手順だった。 と言う事は、  と言う事だ。 ところで、ｇの共変微分は通常の微分  での定数Ｃ並だ。 つまり、関数の積のの微分のような、めんどくさい微分をする必要なく、  と書ける。つまり左辺はgを分配し と書ける。 左辺第１項の＿部分に注目し、ビアンキの関係式  ,  を使い変形すると  となる。 よって、恒等式は  となる。 第３項にｈ,ｉの反対称性を適用し、  第２項、第３項のｈを縮約すると  後はgの添字を縮約し、  となる。 ここで、第２項のダミー添字ｊを第１項のｈに統一し１項、２項を足し合わせ  得ることが出来る。 さらにｇｋlを両辺に掛けて、  ↓  ↓  と、微分用のダミーインデックスをｈに統一できる。 共変微分の添字をカッコの外にくくりだし、両辺に１/２を乗ずれば  尚、 となる。 そう、このカッコの中が非常に重要だ。 ビアンキの関係式を適用しながら、ビアンキの恒等式を縮約た結果の、全エキスがこの中に詰まっているはずだからだ。 お！ いかん、いかん。 ずうっと、添字にローマ字を使い続けていた。 ギリシャ文字に戻そう。 カッコの中のテンソル式様にお名前をお付けししなければ。 そうだな、テンソル名は神々しいから、Ｇにしよう。  （ あるいは、  ）犬言訳者注：以下、意味不明の神がかりな文章が続く。可能な限り犬言に忠実に翻訳を試みたが、物理学として数式以外は参考にしないことをお奨めする。 どうだ、これが神々しき、宇宙の真理テンソル様のお姿だ！ そして、その為せる技は、共変微分した式  で在らせられる。 宇宙の真理テンソル様の為せる技は、天上界ではビアンキの恒等式と呼ばれ、そして我々の地上界に降臨されし時には、この様な技を為されるのである。   へ？ 何々、 ちゃんと最後まで教科書読んだのかだって？ ええっ！ なに、何とこれが『アインシュタインのテンソル』のことだって？！・・・ ・・・ふん！ 人に、じゃなくて、犬に散々めんどくさい実験やら、解説させといて、黙って見ていたくせに。 ぷんぷん！ もう実験なんかやってやらない！ ・・・ え？ ３時のお茶に、取って置きのドーナッツを用意してくれるって？ だから機嫌を直して、実験を進めてくれだって・・・。 ほ、ほんとかい？ も、勿論！ すぐ機嫌なんて取り戻せるぞ！ ほら！ このシッポを見てみろ。  ほら！ ほら！ さあ、次の実験何だっけ？ 何、何、 RμνとRについての挙動確認？ お安い御用！ リッチ・テンソル Rμνはリッチ・テンソル（Ricci tensor)と呼ばれている・・・と、教科書に書いてあった・・・。 早速、R4を縮約しよう。 対称性の無い添字どうしのｈとｋに付いてだ。
ほい！  ふむ。対称性が有りそうだな。
いつもの様に、対称性の確認。  OK！ 大サービスで添字を入れ替えるテクニック。 Transpose[変数,｛入れ替え位置指定｝]
 と簡単に確認できる. ビアンキの恒等式の巡回置換で使えたかな？ スカラー曲率 Rはスカラー曲率と呼ばれている。 やはりIgxxにより、縮約。
 ふむ。 これはちょっと興味があるな。 トーラスのガウス曲率は場所によって＋/-した。 リングの内側側面が（-）で、外側側面が＋。 そして天と地の部分が曲率０だった。 このスカラー曲率Rはどのような分布なのかな？ グラフに書いてみよう。 ｘ１がパイプの径方向の座標軸だ。 天が０ 、外の赤道がπ/２、地がπ、内の赤道が３π/２ となるように座標を取ってある。
 なるほど、ガウス曲率Kとは符号が逆だな。内側(3π/2付近)が狭くなっているから曲率は大きい。 ｘ２方向には曲率の変化は無い。 さあ、私が発見したと思っていた宇宙の真理テンソル様。じつはアインシュタインテンソルだったが。 これが、共変微分で０となるのを、直接確認してみよう。 Gは2階のテンソルなので、テンソルの共変微分のルールを適用して
 ・・・。 そういえば、球面での実験は途中でやめちゃったんだっけ。 よし、大サービスで球面のリッチテンソルとスカラー曲率Rも計算しておこう。 リッチ・テンソルはOut[１２６]。 そして・・・はらほら、Out[１２９]にある通り、Rは全然変化しない。グラフでもまっ平ら。 これが『球面はつまらない空間だ』の原因だったのかな。   ちなみに、球面のガウス曲率K（＝１/a2と)は逆符号で２倍、 G=-２K となっているな。 さあ、終わったぞ。 早くお茶にしょう。 ほれ。ほれ！ さあ、ドーナッツ！ 早く。 早く。 ほれ。ほれ！  |
あれ？ アインシュタイン・テンソルがゼロであることを、メイは気にかけようとしないですね。 きっとドーナッツのことで、頭の中が一杯なんでしょう。
しょうがないので、お茶にでもしますか。