第2章 一般相対性理論の基礎
２．１ 等価の原理
相対性原理とは『どの慣性系にも区別は無い。どこかの慣性系で確認された物理的な現象はどの慣性系でも成り立たなければならない』ということです。このことは、ガリレオの相対性原理にせよアインシュタインの相対性原理にせよ任意の系同士間の一義的な変換則が存在しうることを意味します。
物理的な現象という表現ですが、結局この世の全てに当てはまります。例えば仮に「黒猫が前を横切ると悪いことが起きる」という現象が発見されたとします。そうなると、それも物理現象と言えるでしょう。 そしてその現象は特殊相対性理論では、全ての慣性系でも同様に成り立たなければならないと言うことになります。
ところで、慣性系という言葉に対してどんなイメージをお持ちでしょうか？ 真っ先に、宇宙空間をロケットエンジンを停止させ、慣性で運動をしている宇宙船の中の空間が浮かびませんか？ 宇宙船は慣性で運動をしていると言いましたが、これを慣性系と呼ぶためには、直線に進んでいるの必要が有るのでしょうか？
特殊相対性理論の説明では、さも慣性系は直線に決まっているでしょう！という雰囲気で説明してきました。しかし、何処かの恒星の近くを横切る時は、その恒星に引っ張られて曲がってしまいます。
さらに、広い範囲で銀河系の重力も働いていそうですね。そんな状態でも宇宙船の中では、相変わらず無重力状態であり、直線運動していた時との区別がつかないですね。
ロケットエンジンを使って加速していない以上、慣性運動中です。それにもかかわらず、不幸にも重力の影響で曲がって進むこの宇宙船には、慣性系と呼ばれる資格は無いのでしょうか？
慣性系の定義だって？ そんな物、真直ぐに決まってるだろう。 それと、速さも変っちゃいかん。 なんせエンジンを切って『慣性』で動いてるのだからな。 特殊相対性理論の実験でさんざん見てきた通りだ。 そうじゃやなきゃ、あのローレンツ変換なんかも算出できゃしない。 今さら何をいっているのかな？ 
 航行ログ ん、なんだなんだ、太陽系を出て３時間ほどしてから①の付近で大きく進路が曲がってしまっている。
 さて、ローレンツ系区間だが変化無し。 これは当たり前か。 次はそろそろ不幸のメイ曲線系区間だ。 おお、窓の外に中性子星が見える。 景色の移り具合から、進行方向が曲げられているのが良く分かる。 さて、時計の方だが、やはりと言うか、これらの時計群には特別な変化は認められない。 ということは、この宇宙船の中は相対性原理が成り立っていることになる。 よし、特殊相対性理論がこの状況で成り立つかもしれない。 ローレンツ変換が有効かどうかを確認するため、この近傍で別の宇宙船をすれ違わせて見よう。 この観測領域をでの宇宙船S号、S'号内の空間を局所ローレンツ系と呼ぶことにする。  局所ローレンツ系 もちろん慣性航行で本船と同様、自由落下をさせる。 初速度が異なるから、上手くすれ違えるように自動航行装置に計算させよう。 一歩間違えると衝突しかねないから、慎重に設定しなければならない。 特殊相対性理論の実験の時と同様、本船をS号、もう一方をS'号と呼ぼう。 S'号には前回と同様、貴方に乗ってもらう。 すれ違う瞬間に双方で時計群を観測し合うことにしよう。 もちろん今回も協力願えますな。 さあ、実験領域です！ どうですか？ おお！ やはり貴方のS'号内の時計群は一様に遅れている。 どうでしょう、そちらから見てこちらのS号も同様に遅れていますね？ やはりそうだった。 時間はローレンツ変換で計算される通り、正確に遅れている。 このように慣性航行さえしていれば、重力の影響の無い空間でも、はたまた、重力場を自由落下している場合でも区別無く、特殊相対性理論が成立つ。つまりその近傍においてローレンツ変換が成り立つ事になる。 言い換えるとこの局所領域は、特殊相対性理論が適用できるミンコフスキー時空であると言える。 これを整理してみると、重力場の無い空間を慣性航行しているS号、S'号の軌跡は直線であり、特殊相対性理論の慣性系の定義通りである。  ローレンツ系区間 慣性航行していて、重力場を自由落下したS号、S'号の軌跡は曲線である。これは一見、特殊相対性理論の慣性系の定義通から外れている様に思える。  不幸のメイ曲線系区間 ところが、重力場が一様であると見なせる狭い範囲の中で自由落下している系同士では、落下方向の速度成分は加速度が等いため無視できる。  重力方向に真直ぐ落下する系を基準系とすると、S系、S'系の相対的な速度は下の図の通り、横方向の速度差のみとなる。 これによりS号、S'号間で特殊相対性理論によるローレンツ変換が使えたものと考えられる。  局所ローレンツ系 この事はこの事で重要な発見だ。 しかし自由落下するもの同士を、ある狭い領域でローレンツ変換し合っても、あまり嬉しくも無い。 やはり、広域的に宇宙全体の座標から見て、この宇宙船の中の時計がどう遅れるのかを解明しなければならない。  その為には、今まで立ち入っていなかった、重力圏内に固定した地上系座標への変換を調べる必要が有る. (犬語訳者注1：以下、Ｄｒ．メイのたわごとに近いので、あまり真面目に聞かないことを推奨する) ところで何故、全宇宙にわたる広域座標かだって？ もちろん黒猫迷信が宇宙全般に適応される『普遍的な物理現象』であることが証明出来されなければ、私が困ってしまうからに決まっているじゃないか！私は哀れな黒猫の犠牲者に過ぎないのだ。 今回のことは本当に運が悪かったけの事なのだ。 その為には、地上を基準にしようが、重力の働かない宇宙空間を基準にしようが、全ての物理法則がどのように変換されるのかを、解明しなければならないのである。 くどい様だがそれらの変換則は、私の偉大なる指導原理『メイはマヌケでは無いの原理』と、『メイはドジでは無いの原理』を基にして導出されるはずである。 (犬語訳者注1： 終わり) よし、宇宙固定の広域座標系を考えるために、地上からこの局所ローレンツ系をながめて見よう。 その為には真直ぐに地表に落下する局所ローレンツ系が単純で都合が良いな。 実験に際しては少々危険な様な気もするが、 そう言えばあのアインシュタイン博士も、自らの命の危険も顧みずに、ロープの切れたエレベータに乗って、実験を繰り返していたとか何かの本で読んだ様な気がするぞ。 そうだ、私も落下するエレベータで実験をして見よう！ (犬語訳者注２： アインシュタインは思考実験で落下するエレベータを引き合いに出したのであって、実際に乗った事実は無い。 危険なので真似しないように) 早速、例の時計群をエレベータに持ち込んで見よう。 自由落下するエレベータの中も、特殊相対性理論の成立つミンコフスキー時空であることになる。 特殊相対性理論で行った時と同様、最も解析の簡単な光時計を地表から観察して見よう。 前回の実験と同様進行方向、つまり落下方向に垂直に光軸が向くようにする。 簡単な話、地表に水平になるよう光時計を寝かせるという事だ。  さあ、実験開始。 エレベータのロープを外してください。 ウオッ！ 無重力だ。すごいぞ！ そうだ、そんなこと言ってる場合じゃない。全時計の始動！ これ等全ての時計は、無重力状態で正確に調整してある。 実験準備の間は重力下にあり精度は保証されないが、一旦無重力に戻ると、再び精度は復元される。 前回の実験で確認した通り自由落下している状態では、局所的なミンコフスキー時空となる。 この事は、宇宙船だろうとエレベータだろうと関係ない。当然時計群の中で時計同士に誤差が生じるはずは無い。 前回の宇宙船Ｓ、Ｓ'号での実験の再確認の様なもんだ。 よーし。 もう充分だ。全然問題なし。 さて、これからが本題だ。貴方のいる地上、つまり重力場側から眺めてこれらの時計群はどう見えるかだ。 『よく分からないが、光時計の様子がへんてこに見える』ですって？ どんなに変なんでしょうか？ 『光りが曲がって見える。故障しているのではないのか』ですと？ いや、こちらでは正確に動いてます。  それでは、もう一度、やり直しましょう。 今度は貴方がエレベータに乗って下さい。私が地上側よりその”へんてこ”な現象を観察しましょう。 さあ、交替です。・・・いやですって？ 『死にたくないから、勘弁してくれ』ですって？ そう言えばこちらは、落下している真っ最中でした。 わあっ！ 地面が！ またしても地面が！☆！★！×！！ ・・・ |
・・・そうだ、ひょとすると黒猫迷信は宇宙全般に適用される原理かも知れない。 これは地球上だけの迷信ではないのだ。 そうすれば、私の犯した一見ドジや間抜けも、実は運が悪かっただけのことだと説明が付くことになるかも知れない。 そもそも、この優秀な私がドジや間抜けである筈がない。
いや、あってはならない！
そして中性子星の重力圏を横切っている区間、これは明らかに曲線運動なのだが、これを不幸のメイ曲線系と呼ぼう。